[수학] 30일 수학 : (2) 문자와 식

01. 문자

# □(임의의 수)를 사용한 식

( +,- )	( * )	( / )
○ + △ = ★	○ * △ = ★	○ / △ = ★
○ = ★ - △	○ = ★ / △ -> ★ * 1/△	○ = ★ * △
△ = ★ - ○	△ = ★ / ○ -> ★ * 1/○	△ = ★ * ○

 

# 문자의 사용

'x' 는 모르는 값을 표현하기 위한 문자

1) 어떤 수 보다 2 큰 수 → x + 2

2) 어떤 수 보다 3 작은수 → x - 3

3) 어떤 수의 4배인 수 → x * 4

4) 어떤 수를 5로 나눈수 → x / 5

 

# 맨날 까먹는 엄청 중요한 관계식

1) 거스름돈 = (낸돈) - (물건가격)

★2) a%(백분율) = a/100

★3) x의 a% = x * a/100

★4) a% 할인된 가격 = (정가) - (정가 * a/100)

5) 속력(빠르기) = 거리/시간

       거리    

   속력 시간

   거리 → 속력 * 시간

   시간 → 거리/속력

6) 설탕물의 농도(%)

설탕의양/설탕물의 양 * 100

7) 삼각형 넓이 → 밑변 * 높이 * 1/2 

8) 정육면체의 넓이 → 한모서리 * 한모서리 * 6 

9) 사다리꼴의 넓이 → (윗변 + 아랫변) * 세로 *1/2

10) 평행사변형 넓이 → 밑변 * 높이

11) 연비 → 주행거리/연료

12) 타율 → 안타/타수

 

# 곱셈 & 나눗셈 기호생략

숫자*숫자는 생략 할 수 없다.

숫자*문자, 문자*문자는 생략 할 수 있다.

 

※ 정리규칙

1) 숫자는 맨앞에 위치 한다.

2) 알파벳 순서대로 작성한다.

3) 같은 문자는 거듭제곱을 사용한다.

4) 괄호가 있다면 괄호 앞으로 이동할 수 있다.

 

ex) ① b * a * 5 * a * c = 5a^2bc

ex) ② (x - y + z) * (-2) = -2(x - y + z)

ex) ③ a / b = a * 1/b = a/b

ex) ④ (a - b) * 2 * c - 0.1 * x

           = 2(a - b)c - 0.1x

           = 2c(a - b) - 0.1x

 

# 예민보스 숫자1

1) b * a * 1 = 1ab = ab

   숫자 1은 곱하기에서 힘이 없기 때문에 생략이 가능하다.

2) x * y * (-1) * x * y * x = (-1)x^3y^2 = -x^3y^2

   숫자 1은 생략이 가능하나 마이너스는 유지해야 한다.

3) 0.1 * x = 0.1x

     1이 아닌 소수는 유지해야 한다.

4) 1/2 * x = 1/2x = x/2

     x는 분자와 곱해지므로 두 결과는 표현만 다른 같은 값이 된다.

---

02. 일차식

# 대입과 식의 값

대입이란 대신 입력, 대신 집어 넣는것.

 

a = 2 일때 

1) 3 + a → 3 + 2 = 5

2) 3a → 3*2 = 6

 

a = -2일때

1) 3 + a → 3 + (-2) = 1  

2) 3a → 3 * (-2) = -6

 

식의값

(마이너스 값은 구분하기 위해 괄호를 넣어준다.)

 

# 거듭제곱으로 표현된 식에 대입

1) a = 3 일때, a^2

    → 3^2 = 9

2) a = -3 일때, a^2

    → (-3)^2 = 9

3) a  = 3 일때, -a^2

    → -3^2 = -9

       ('-'는 그냥 붙는 것)

4) a = -3 일때, -a^2

    → -(-3)^2 = -9

 

-a^2 vs (-a)^2

서로 다른 표현으로 음수를 대입할땐 괄호로 묶는다.

 

# 다항식과 일차식

3x^2 - 2x - 5y + 1

항 → 식을 구성하는 한덩어리. 곱으로만 연결된 식

ex) x + y → 항이 2개

ex) xyzavdfg → 항이 8개

 

3x^2 - 2x - 5y + 1

상수항 → 수로만 이루어진 것. 상수이며 변하지 않는 항

 

3x^2 - 2x - 5y + 1

계수 → 문자앞에 곱해진 수

ex) 5y → 5는 y의 계수

 

x vs 5

x → 변수이며 미지수

5 → 상수(변하지 않는 숫자)

 

# 항의 차수, 다항식의 차수

1) 차수 → 문자가 곱해진 갯수

2) 다항식 → 항이 1개 이상

3) 단항식 → 항이 1개인 식(즉 단항식은 다항식에 포함된다.)

 

ex) -7y → 단항식, 1차식

ex) 2x - 3 → 다항식, 1차식

ex) 3x + 5y → 다항식, 1차식

ex) 8x^2 - 1 → 다항식, 2차식

ex) 4x^2y → 단항식, 3차식

 

a^2 + 3a + 1 = 이차식(2차식)

이차항(2차항)

일차항(1차항)

상수항 문자가 0개로 0차항이라 볼 수 있으나, '상수항'으로 주로 불린다.

식의 차수가 제일 큰 것을 차수로 결정한다.

ex) x^3 + 1 = 삼차식(3차식)

 

# 단항식과 수의 곱셈, 나눗셈(끼리끼리)

1) 6 * 3x → 18 * x = 18a

2) 8a / 2 → 8a * 1/2 = 4a

3) 5(2x - 1) → (5 * 2x) + (5 * (- 1)) = 10x - 5 

     분배법칙을 이용하면 결과까지 좀더 효율적임 → 10x - 5

---

03. 일차식의 연산

# 동류항

같은 종류인 항(끼리끼리)

 

* 조건

1) 문자 의 형태가 같다.

    ex) x vs y → 문자가 다르다(동류항x)

    ex) x vs 2x → 문자가 같다(동류항o)

2) 차수가 같다.

    ex) x vs x^2 → 차수가 다르다(동류항x)

    ex) 2y^2 vs y^2 → 차수가 같다(동류항o)

 

* 식 계산

x^2 + 3x + x^2 + 5y - 2x - 7y

1차항 2차항

↓ 정리 ↓

x^2 + x^2 + 3x + 5y - 2x - 7y

1차항 같은 문자형태 묶기

↓ 정리 ↓

x^2 + x^2 + 3x - 2x + 5y - 7y 

↓ 동류항 끼리 계산 ↓

2x^2 + x + 2y

 

동류항이 아닌 식은 식 자체가 값이다.

5x + 7 = 식이 값

5x + 7x = 12x(값)

 

# 일차식의 덧셈과 뺄셈

1) 동류항끼리 묶는다.

2) 괄호 먼저 계산한다.

ex) (2x - 1) - (x + 5)

     → 2x - x - 1 - 5

     → x - 6

 

# 복잡한 일차식의 덧셈과 뺄셈

1) 동류항끼리 묶는다.

2) 괄호 먼저 계산한다.

     (소괄호) → {중괄호} → [대괄호] 순으로 작은 괄호 먼저 계산한다.

3) 분수는 통분(최소공배수) 혹은 약분(최대공약수) 하여 계산한다.

---

04. 비율

# 비와 비율

비 → 1 : 2(일대이)

비율 → 1/2

1 : 2

비교하는양(비교는 앞에 위치한다)

대

기준량(기준은 뒤에 위치한다)

 

# 비례식

비율이 같은 두 비를 등호를 사용해 나타낸식

비례식의 조건

1) 일정한수를 곱하거나 나누더라도 일정

2) 외항*외항, 내항*내항이 같다

 

1 : 2 = 2 : 4

전항(앞에 있는 항)

후항(뒤에 있는 항)

 

1 : 2 = 2 : 4

외항(바깥에 있는 항)

내항(안쪽에 있는 항)

 

# 등식

등호가 들어간식

2x + 5 = 8

좌변(등호기준)

우변(등호기준)

양변(등호기준)

---

05. 방정식과 항등식

# 방정식 vs 항등식

방정식 → 그때 그때 다름, x값에 따라 해(근)이 결정

항등식 → 항상 등호가 성립하는, 늘같은 식(매번 왼쪽과 오른쪽이 같다)

 

* 항등식의 성립 조건

1) 모든 x에 대해서 성립

2) 임의의 x에 대해 성립

3) x에 값에 관계없이 성립

 

cf) 항등식의 성질

1. ax + b = 0(x에 대한 항등식)

↔ a = 0, b = 0

 

2. ax + b = cx + d

↔ a = c, b = d

 

# 등식의 성질

a = b, c ≠ 0

1) a + c = b + c

2) a - c = b - c

3) a * c = b * c

4) a / c = b / c(a * 1/c = b * 1/c)

0일때 빼고 모두 성립된다(+, -, *, / )

 

방정식의 목표는 x이다.

ex) 2x - 3 = 5

1) 양변에 +

+ 3

2x - 3 + 3 = 5 + 3

→ 2x = 8

 

2) 양변에 / 

/ 2

2x / 2 = 8 / 2

→ x = 4

 

3) 대입해서 확인해 본다

2 * 4 - 3 = 5 (참)

 

# 방정식의 해

그때 그때 x에 값 즉 미지수의 따라 달라진다.

차수의 갯수 만큼 해가 나온다.

예) x + 2 = 3
x의 값	좌변의 값	우변의 값	참 / 거짓
0	0 + 2 = 2	3	거짓
1	1 + 2 = 3	3	참
2	2 + 2 = 4	3	거짓
해는 1

 

 

[중요] 방정식을 풀기 위해서는,

양변의 식을 만족하는 x값을 구해야 한다.

---