[수학] 30일 수학 : (1) 수와 연산

1. 약수와 배수

곱하기, 거듭제곱(2의제곱, 2^(편집기를 사용할수 없는경우 밑과 지수를 '()'를 이용하여 묶어준다.)

ex) ○ * △ = □

○,△는 □의 약수

□는 ○,△의 배수

 

ex) 2/13 = 6...1

       6 = 몫 = Q

       1 = 나머지 = R

       

       2/12 = 6

       6 = 몫 = Q

       0 = 나머지 = R

 

※ 배수의 조건 경우의 수

• '3'의 배수 -> 자릿수의 합이 '3'의 배수일 경우
  ex) 4214 >> 11(X) / 4218 >> 15(O)
• '4'의 배수 -> 끝에 두자리가 '4'의 배수
• '6'의 배수 -> 짝수이며 '3'의 배수인 경우
• '9'의 배수 -> 자릿수의 합이 '9'일 경우

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2. 소수와 합성수

소수 : 모든수에 기본(약수가 '1', 자기 자신 총 '2'개인 수)

합성수 : n * n 이 되어 새로운 수를 만들 수 있다.(약수가 '1', 자기 자신, 다른숫자 총 '3'개 이상인 수)

서로소(Relatively Prime or Coprime) : 두 수 사이의 최대공약수가 1인 경우

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3. 소인수분해

소인수 -> 소수인 약수

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4. 최대공약수

공약수(Common Divisor or Common Factor) -> 공통이 되는 약수(최대공약수의 약수)

최대공약수(GreatestCommonDivisor or G)-> 제일 큰 공통이 되는 약수

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5. 최소공배수

공배수 -> 공통이 되는 배수(최소공배수의 배수)

최소공배수(LCM or L) -> 제일 작은 공통되는 배수

 

※ 외워야 할 것

A = a * G

B = b * G

L = a * b * G

AB = L * G

∴  G = (A,B의)최대공약수 / L = (A,B의)최소공배수

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6. 약분과 통분

단위분수 -> 분자가 '1'인 분수 (단위면 =  반지름이 '1'인 원)

기약분수 -> 분모, 분자 모두 더 이상 나눌 수 없는 서로소의 상태(= 최대 공약수)

진분수 -> 분모보다 분자가 작은 경우

가분수 -> 분모보다 분자가 같거나 큰 경우

대분수 -> 가분수를 약분하여 표현

약분 -> 공약수로 간단히 표현

통분 -> 분모를 통일

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7. 덧셈, 뺄셈을 분수

8. 곱셈을 분수

9. 나눗셈을 분수

10. 덧셈, 뺄셈을 소수

11. 곱셈, 나눗셈을 소수

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12. 정수와 유리수

유리수 -> 분수로도 나타 낼 수 있는 수

정수 -> 양수, 음수, 0, 자연수를 포함한 수

양의 정수(≠양수) -> 1,2,3 과 같은 똑 떨어지는 양수

음의 정수(≠음수) -> -1,-2,-3 과 같은 똑 떨어지는 음수

양수

음수

자연수

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13. 절대값

원점 =  0

절대값 = 원점으로 부터의 거리

| x |  -> 원점 0으로 부터 ±x 만큼 떨어짐

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14. 덧셈, 뺄셈을 유리수

1. 덧셈의 계산 법칙

1)덧셈의 교환 법칙

-> 순서가 바뀌어도 결과는 동일 하다.

a+b = b+a

 

2) 덧셈의 결합 법칙

-> 괄호로 묶어 계산을 해도 동일하다.

(a+b)+c = a+(b+c) = a+b+c

 

cf) 빼기는 연산 순서가 중요하다.

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15. 곱셈을 유리수

1) 곱셈의 교환법칙

a*b = b*a

 

2) 곱셈의 결합법칙 

(a*b)*c = a*(b*c) = a*b*c

 

※ 주의할점

(-a)^2 = +a^2 -> 괄호 마이너스를 제곱

-a^2 = -a^2 -> 제곱한 후 마이너스 붙임

 

(음수)^홀수 = 마이너스값

(음수)^짝수 = 플러스값

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16. 나눗셈을 유리수

ex) △ / (□/○) = △ * (○/□) 

      △ / (1/○) = △ * (○/1) = △ * ○

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17. 사칙연산 총동원

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18. 수와 연산의 진화

# 지수 법칙

1) a * a * ... * a = a^n

2) a^m * a^n = a^m+n

3) (a^m)^n = a^m(*)n = (a^n)^m

4) (ab)^m = a^m b^m

     (ㄴ지수가 똑같으면 묶어도 된다.)

5) a^m / a^n(나눗셈) = a^m * (1/a^n) = a^m / a^n(분수)

    (ㄴ많이 사용하는 방식은 아님)

 

# 제곱근

제곱근 -> 제곱했을때 어떤 수가 되는 수

제곱근은 피타고라스가 처음으로 만들어냈다.

a^2 + b^2 = c^2 자연수로만 표현할수 없는 알로곤(말할수 없는 숫자)이 등장하며

무리수(분수로 표현이 불가능한, 자연수로 표현할 수 없는)가 나오게 된다.

 

√ -> 루트(근호/기원의 뿌리가 되는)

x^2 = 1, x = ±1

x^2 = 2, x = ±√2 : 2의 제곱근

x^2 = 3, x = ±√3 : 3의 제곱근

x^2 = 4, x = ±2

 

# 제곱근의 정의

x^2 = a, x = ±√a

1) 이차방정식의 근

2) a의 제곱근

3) 무엇을 제곱해야 a가 되는가?

a	a > 0	a = 0	a < 0
x	±√a	0	없음
갯수	2개(a가 양수일때 2개)	1개(a가 0일때 1개)	없음(a가 음수일때는 없다)

 

# 제곱근의 성질

a > 0 일때

1) (√a)^2 -> a

     루트는 제곱하면 벗겨진다(사라진다)

2) √a^2 = a^2 = a

    △^2 -> △

3) √(-a^2) = a^2 = a  (-√a)^2 = a^2 = a

    음수의 제곱을 하여 양수의 제곱을 만들고 (루트를)벗긴다.

4) (-√a)^2 = a^2 = a

     - 괄호를 전체 제곱한다(음수*음수)

     - 루트는 제곱하면 사라진다.

     - 루트안에 있는 제곱은 루트가 사라지면서 함께 사라진다.

 

ex) (√2)^2 = 2

       √2^2 = 2

       (-√2)^2 = 2

       √(-2)^2 = 2    

 

# 근호안에 제곱한 인수가 있는 식의 계산

1) √a ^2 = ∴ | a | 

     ㄴ a의 대한 조례가 없기 때문에 절댓값으로 표현 혹은 아래와 같이 표현될 수 있다.

     ㄴ a ≥ 0 => a, a = 0 => 0, a < 0 => -a  

2) √(a - b)^2

     ㄴ ∴ a - b (a ≥ b)^2

     ㄴ ∴ -(a - b) (a < b)^2

3) √(a - 2)^2

     ㄴ ∴ a - 2 (a ≥ 2)^2

     ㄴ ∴ -(a - 2) (a < 2)^2

 

# 제곱근의 대소관계

넓이가 2인 정사각형	넓이가 3인 정사각형
한 변의 길이는 a이며 양수	한 변의 길이는 b이며 양수
a^2 = 2	b^2 = 3
a = +√2	a = +√3

1) a < b 이면 -> √a < √b

2) √a < √b 이면 -> a < b

 

# 무리수와 실수

1) 실수(real number or R) : 실제로 존재 할 수 있는 숫자, 유리수와 무리수를 포함한다. 

2) 유리수 : 분수로 표현이 가능하다(정수/정수 ≠ 0)

3) 무리수 : 분수로 표현 할 수 없는 수(√2 , √3..)

4) 소수

    > 유한소수 :  0.3 = 3/10 >> 유리수

    > 무한소수 

        ㄴ 순환소수(계속반복) : 0.333... = 3/9 >> 유리수

        ㄴ 순환하지 않는 소수 : 무리수(비순환 무한소수) 

            ex) 파이, √2, 1.414...

 

 

+ 참조

거듭제곱

https://namu.wiki/w/%EA%B1%B0%EB%93%AD%EC%A0%9C%EA%B3%B1

 

피타고라스의 정의

https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%94%BC%ED%83%80%EA%B3%A0%EB%9D%BC%EC%8A%A4_%EC%A0%95%EB%A6%AC

 

 

+ EBS 30일 수학 : (1) 수와연산! 우리의 18일♥(박자영 선생님)

https://www.ebsi.co.kr/ebs/lms/lmsx/retrieveSbjtDtl.ebs?courseId=S20190000001#intro