[수학] 30일 수학 : (1) 수와 연산
1. 약수와 배수
곱하기, 거듭제곱(2의제곱, 2^(편집기를 사용할수 없는경우 밑과 지수를 '()'를 이용하여 묶어준다.)
ex) ○ * △ = □
○,△는 □의 약수
□는 ○,△의 배수
ex) 2/13 = 6...1
6 = 몫 = Q
1 = 나머지 = R
2/12 = 6
6 = 몫 = Q
0 = 나머지 = R
※ 배수의 조건 경우의 수
- '3'의 배수 -> 자릿수의 합이 '3'의 배수일 경우
ex) 4214 >> 11(X) / 4218 >> 15(O) - '4'의 배수 -> 끝에 두자리가 '4'의 배수
- '6'의 배수 -> 짝수이며 '3'의 배수인 경우
- '9'의 배수 -> 자릿수의 합이 '9'일 경우
2. 소수와 합성수
소수 : 모든수에 기본(약수가 '1', 자기 자신 총 '2'개인 수)
합성수 : n * n 이 되어 새로운 수를 만들 수 있다.(약수가 '1', 자기 자신, 다른숫자 총 '3'개 이상인 수)
서로소(Relatively Prime or Coprime) : 두 수 사이의 최대공약수가 1인 경우
3. 소인수분해
소인수 -> 소수인 약수
4. 최대공약수
공약수(Common Divisor or Common Factor) -> 공통이 되는 약수(최대공약수의 약수)
최대공약수(GreatestCommonDivisor or G)-> 제일 큰 공통이 되는 약수
5. 최소공배수
공배수 -> 공통이 되는 배수(최소공배수의 배수)
최소공배수(LCM or L) -> 제일 작은 공통되는 배수
※ 외워야 할 것
A = a * G
B = b * G
L = a * b * G
AB = L * G
∴ G = (A,B의)최대공약수 / L = (A,B의)최소공배수
6. 약분과 통분
단위분수 -> 분자가 '1'인 분수 (단위면 = 반지름이 '1'인 원)
기약분수 -> 분모, 분자 모두 더 이상 나눌 수 없는 서로소의 상태(= 최대 공약수)
진분수 -> 분모보다 분자가 작은 경우
가분수 -> 분모보다 분자가 같거나 큰 경우
대분수 -> 가분수를 약분하여 표현
약분 -> 공약수로 간단히 표현
통분 -> 분모를 통일
7. 덧셈, 뺄셈을 분수
8. 곱셈을 분수
9. 나눗셈을 분수
10. 덧셈, 뺄셈을 소수
11. 곱셈, 나눗셈을 소수
12. 정수와 유리수
유리수 -> 분수로도 나타 낼 수 있는 수
정수 -> 양수, 음수, 0, 자연수를 포함한 수
양의 정수(≠양수) -> 1,2,3 과 같은 똑 떨어지는 양수
음의 정수(≠음수) -> -1,-2,-3 과 같은 똑 떨어지는 음수
양수
음수
자연수
13. 절대값
원점 = 0
절대값 = 원점으로 부터의 거리
| x | -> 원점 0으로 부터 ±x 만큼 떨어짐
14. 덧셈, 뺄셈을 유리수
1. 덧셈의 계산 법칙
1)덧셈의 교환 법칙
-> 순서가 바뀌어도 결과는 동일 하다.
a+b = b+a
2) 덧셈의 결합 법칙
-> 괄호로 묶어 계산을 해도 동일하다.
(a+b)+c = a+(b+c) = a+b+c
cf) 빼기는 연산 순서가 중요하다.
15. 곱셈을 유리수
1) 곱셈의 교환법칙
a*b = b*a
2) 곱셈의 결합법칙
(a*b)*c = a*(b*c) = a*b*c
※ 주의할점
(-a)^2 = +a^2 -> 괄호 마이너스를 제곱
-a^2 = -a^2 -> 제곱한 후 마이너스 붙임
(음수)^홀수 = 마이너스값
(음수)^짝수 = 플러스값
16. 나눗셈을 유리수
ex) △ / (□/○) = △ * (○/□)
△ / (1/○) = △ * (○/1) = △ * ○
17. 사칙연산 총동원
18. 수와 연산의 진화
# 지수 법칙
1) a * a * ... * a = a^n
2) a^m * a^n = a^m+n
3) (a^m)^n = a^m(*)n = (a^n)^m
4) (ab)^m = a^m b^m
(ㄴ지수가 똑같으면 묶어도 된다.)
5) a^m / a^n(나눗셈) = a^m * (1/a^n) = a^m / a^n(분수)
(ㄴ많이 사용하는 방식은 아님)
# 제곱근
제곱근 -> 제곱했을때 어떤 수가 되는 수
제곱근은 피타고라스가 처음으로 만들어냈다.
a^2 + b^2 = c^2 자연수로만 표현할수 없는 알로곤(말할수 없는 숫자)이 등장하며
무리수(분수로 표현이 불가능한, 자연수로 표현할 수 없는)가 나오게 된다.
√ -> 루트(근호/기원의 뿌리가 되는)
x^2 = 1, x = ±1
x^2 = 2, x = ±√2 : 2의 제곱근
x^2 = 3, x = ±√3 : 3의 제곱근
x^2 = 4, x = ±2
# 제곱근의 정의
x^2 = a, x = ±√a
1) 이차방정식의 근
2) a의 제곱근
3) 무엇을 제곱해야 a가 되는가?
| a | a > 0 | a = 0 | a < 0 |
| x | ±√a | 0 | 없음 |
| 갯수 | 2개(a가 양수일때 2개) | 1개(a가 0일때 1개) | 없음(a가 음수일때는 없다) |
# 제곱근의 성질
a > 0 일때
1) (√a)^2 -> a
루트는 제곱하면 벗겨진다(사라진다)
2) √a^2 = a^2 = a
△^2 -> △
3) √(-a^2) = a^2 = a (-√a)^2 = a^2 = a
음수의 제곱을 하여 양수의 제곱을 만들고 (루트를)벗긴다.
4) (-√a)^2 = a^2 = a
- 괄호를 전체 제곱한다(음수*음수)
- 루트는 제곱하면 사라진다.
- 루트안에 있는 제곱은 루트가 사라지면서 함께 사라진다.
ex) (√2)^2 = 2
√2^2 = 2
(-√2)^2 = 2
√(-2)^2 = 2
# 근호안에 제곱한 인수가 있는 식의 계산
1) √a ^2 = ∴ | a |
ㄴ a의 대한 조례가 없기 때문에 절댓값으로 표현 혹은 아래와 같이 표현될 수 있다.
ㄴ a ≥ 0 => a, a = 0 => 0, a < 0 => -a
2) √(a - b)^2
ㄴ ∴ a - b (a ≥ b)^2
ㄴ ∴ -(a - b) (a < b)^2
3) √(a - 2)^2
ㄴ ∴ a - 2 (a ≥ 2)^2
ㄴ ∴ -(a - 2) (a < 2)^2
# 제곱근의 대소관계
| 넓이가 2인 정사각형 | 넓이가 3인 정사각형 |
| 한 변의 길이는 a이며 양수 | 한 변의 길이는 b이며 양수 |
| a^2 = 2 | b^2 = 3 |
| a = +√2 | a = +√3 |
1) a < b 이면 -> √a < √b
2) √a < √b 이면 -> a < b
# 무리수와 실수
1) 실수(real number or R) : 실제로 존재 할 수 있는 숫자, 유리수와 무리수를 포함한다.
2) 유리수 : 분수로 표현이 가능하다(정수/정수 ≠ 0)
3) 무리수 : 분수로 표현 할 수 없는 수(√2 , √3..)
4) 소수
> 유한소수 : 0.3 = 3/10 >> 유리수
> 무한소수
ㄴ 순환소수(계속반복) : 0.333... = 3/9 >> 유리수
ㄴ 순환하지 않는 소수 : 무리수(비순환 무한소수)
ex) 파이, √2, 1.414...
+ 참조
거듭제곱
https://namu.wiki/w/%EA%B1%B0%EB%93%AD%EC%A0%9C%EA%B3%B1
피타고라스의 정의
https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%94%BC%ED%83%80%EA%B3%A0%EB%9D%BC%EC%8A%A4_%EC%A0%95%EB%A6%AC
+ EBS 30일 수학 : (1) 수와연산! 우리의 18일♥(박자영 선생님)
https://www.ebsi.co.kr/ebs/lms/lmsx/retrieveSbjtDtl.ebs?courseId=S20190000001#intro